گرانش و ساختارهای علّی در رویه های (?+?)بعدی

فضای دوسیته از حل معادله ی اینشتین به ازای ثابت کیهانشناختی مثبت به دست می آید. مسئله ای که در این پایان نامه مورد بررسی قرار گرفته‏، عبارتست از بررسی رویه های دوسیته ی (?+?)-بعدی با امضای‎ ‎(-++)‎ که در فضای تخت با امضای ‎(-+++) غوطه ور شده ‎‎اند. در گام نخست برای شناخت تقارن های رویه ها‏، زیرگروه های تک پارامتری گروه‎so(3,1) ‎ را ‎دسته بندی می کنیم. این زیرگروه ها به دو حالت مجاز و غیر مجاز تقسیم می شوند. حالت های مجاز حالت هایی هستند که تانسور متریک فضای غوطه وری را چنان به دست می دهند که دترمینان آن با امضای‎‎(-+++)‎ ‎ همخوانی داشته باشد. اما در حالت های غیر مجاز‏، همواره دترمینان متریک به دست آمده عددی مثبت است که پیداست با متریک فضای غوطه وری همخوانی ندارد. با شناسایی حالت های مجاز‏‏، کلی ترین راستاهای هم متری این رویه ها را تعیین می کنیم. با محاسبه ی اندازه‎‎ی بردارهای کیلینگ مولد راستاهای هم متری نشان می دهیم که در فضای دوسیته نمی توان با روش یکسان سازی در جهت یکی از راستاهای هم متری فضا‏، به حل سیاه چاله دست یافت. این در حالی است که در فضای پاددوسیته که فضایی با ثابت کیهانشناختی منفی است می توان با فرآیند یکسان سازی به حل سیاه چاله رسید. می توان دید که این تفاوت‏، نتیجه ای است از فضایی که رویه ها را در آن غوطه ور کرده ایم.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ رویه ی دوسیته ی را می توان به روش های متفاوتی مختصه بندی کرد و به متریک هایی با ویژگی های متفاوت رسید. در کنار متریک های شناخته شده از فضای دوسیته‏، متریک متفاوتی را ‎به دست می آوریم که از دید ناظر فضای (?+?)-بعدی‎‏، متریک سراسری در (2+1)‎‎-بعد آن را کاملاً دربر می گیرد‏، به این معنی که محدوده ی درستی متریک سراسری از متریک معرفی شده بزرگتر بوده و آن را می پوشاند. ناحیه ی مشترکی که توسط هر دو متریک پوشانده می شود را «ناحیه ی همپوشانی» می نامیم که دارای مرزهای نورگونه است. وجود ناحیه ی همپوشانی میان این دو متریک درحالی است که نمی توان تبدیل مختصاتی که این دو متریک را در ناحیه ی همپوشانی به هم تبدیل می کند‏، به شکل بدیهی یافت. در عین حال این دو متریک رفتار های کاملاً متفاوتی دارند. به عنوان مثال متریک سراسری متریکی پویا (دینامیک) است به این معنی که بخش قطبی-کروی آن پیوسته با زمان منبسط می شود. اما متریک معرفی شده در گذر زمان‏، رفتاری دوره ای از خود نشان می دهد و حجم آن در فواصل دوره ای صفر می شود. همچنین ناظران این دو متریک برداشت متفاوتی در مورد عمر فضای همپوشانی دارند‏، به این معنی که در سرتاسر متریک معرفی شده‏، ناحیه ی همپوشانی همواره قابل مشاهده و ابدی است. اما برای ناظر متریک سراسری‏، نه تنها ناحیه ی همپوشانی با گذر زمان رفته رفته ناپدید می شود بلکه عمر آن به محل قرارگیری ناظر بستگی دارد. با بررسی ساختارهای علّی این دو متریک در نمودارهای پن رز‏، این تفاوت ها را می توان به طور کامل پی گیری نمود. این مثال خاص در فضای دوسیته از این نظر قابل توجه است که این پرسش را مطرح می کند که در صورت نبود تبدیل مختصاتی میان دو متریک که در بخشی از فضا همپوشانی دارند‏، چه راهی می توان یافت که ناظران این دو متریک به فهم مشترکی از رخدادهای فیزیکی محیط پیرامونشان برسند. به عنوان مثال چگونه می توان تابع موجی که توسط ناظر یکی از متریک ها محاسبه می شود را بدون اعمال تبدیل مختصاتی برای ناظر دیگر به دست آورده و نتایج فیزیکی مشاهدات این دو ناظر را مقایسه کرد.